以下のページを参考にして作りました。

参考ページ

WordPressでお問い合わせフォームに商品名などリンク元の情報を投げる方法
https://www.vektor-inc.co.jp/post/wordpress-contact-form-send-para/

ボタンを表示するショートコードを登録する

functions.php に以下のコードを追加します。

/*-------------------------------------------*/
/*    ショートコード [contact_btn] を登録
/*-------------------------------------------*/
add_shortcode( 'contact_btn', 'my_contact_btn' );
// [contact_btn] を返す関数
function my_contact_btn(){
	// 問い合わせフォーム先のURL
	$url = home_url() . '/contact/?pageTitle=「' . get_the_title() . '」について';
	// 問い合わせボタンを返す
	return '<div class="text-center"><a href="'.esc_url( $url ).'" class="btn btn-primary">このページについて問い合わせる</a></div>';
}

上記のコードにより、ショートコード contact_btn で以下のボタンが表示されるようになります。

URL パラメータの値をフォームの入力欄に表示する

さらに functions.php に以下のコードを追加して、URL パラメータを Contact Form のフックに登録してありますので、このページのタイトルが自動的にお問い合わせフォームの your-subject に表示されるようになっています。

/*-------------------------------------------*/
/*    URLパラメータを Contact Form のフックに登録
/*-------------------------------------------*/
function my_form_tag_filter( $tag ) {
	if ( ! is_array( $tag ) ) {
		return $tag;
	}

	// pageTitle の値を受け取って Contact Form に投げる
	// 複数のパラメーターを受け取る場合は if (){} 部分を複製してパラメーター名を変更すればOK
	if ( isset( $_GET['pageTitle'] ) ) {
		$name = $tag['name'];
		if ( $name == 'your-subject' ) {
			$tag['values'] = (array) $_GET['pageTitle'];
		}
	}

	return $tag;
}
add_filter( 'wpcf7_form_tag', 'my_form_tag_filter', 11 );

ボタンをクリックすると、リンク先の URL パラメータ pageTitle としてこのページのページタイトルが指定されていることを確認できます。